Question

如图，AB是半圆O的直径，AC切半圆于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE于点E，BD=10，DE、BE是方程x²-2（m+2）x+2m²-m+3=0的两个根（BE＞DE）．
求：（1）m的值；
（2）⊙O的直径；
（3）AC的长．

Answer 1

解：（1）∵DE、BE是方程的两个根，
∴DE+BE=2（m+2），DE•BE=2m²-m+3．
又∵BE⊥DE，∴∠E=90°，
∴DE²+BE²=BD²，
（DE+BE）²-2DE•BE=10²即4（m+2）²-2（2m²-m+3）=100，
∴m=5．
当m=5时，△=-4m²+20m+4=240＞0，
∴m的值为5．

（2）连接DO．
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD，∠ODE=∠E=90°．
∴∠ODE+∠E=180°，∴OD∥BE．
∴∠ODB=∠DBE．
又∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBE．
∵m=5，∴原方程为x²-14x+48=0．
∴x₁=6，x₂=8．
∵BE＞DE，
∴BE=8，DE=6．∴BD=10．
连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．∴∠ADB=∠E=90°．
又∵∠OBD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE．
∴，即，
∴AB=．

（3）∵AC切⊙O于点A，
∴AC⊥AB，∠CAB=90°．
∴△ACB∽△EDB，
∴，
∴AC=．
分析：（1）根据根与系数的关系结合勾股定理求解；
（2）连接OD、AD．根据（1）中结论DE、BE的长，证明△ABD与△BDE相似求解；
（3）结合（2），根据射影定理即可求解．
点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程根与系数的关系等知识点，综合性强，难度较大．