Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AB=10，点D在线段AB上运动，点E与点D关于直线AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，点M为AB的中点．
（1）当点D不与点A，B重合时，求证：CE=CF；
（2）连接CM，当EF⊥CM时，求AD的长；
（3）当EF∥AB时，AD的长为5；
（4）当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积为25$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）连接CD，根据点E与点E关于AC对称，得到CE=CD，等边对等角得到∠E=∠CDE，再证明∠F=∠CDF，得到CD=CF，所以CE=CF．
（2）先证明△MAC是等边三角形，再证明∠ADC=90°，根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可解答；
（3）先证明∠A=∠DCA，得到AD=CD，再证明AD=BD，得到D为AB的中点，所以AD=$\frac{1}{2}AB$=5．
（4）根据当点D从点A运动到点B时，如图4，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，即可解答．

解答 解：（1）如图1，连接CD，

∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠F=∠CDF，
∴CD=CF，
∴CE=CF．
（2）如图2，连接CM，

∵点M为AB的中点，AB=10，
∴CM=MA=MB=5，
∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，
∴∠A=60°，
∴△MAC是等边三角形，
∴∠MCB=30°，
∵EF⊥CM，
∴∠MCF=90°，
∴∠FCB=60°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴DE⊥AC，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠E=∠FCB=60°，∠ADE=∠CBA=30°，
∵∠E=∠CDE=60°，
∴∠ADC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{5}{2}$．
（3）如图3，连接CD，

∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD，
∴∠E=∠CDE，∠ECA=∠DCA，
∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，
∴∠A=60°，
∵EF∥AB，
∴∠A=∠ECA=60°，
∴∠DCA=60°，
∴∠A=∠DCA，
∴AD=CD，
∵∠B=30°，∠BCD=90°-∠DCA=90°-60°=30°，
∴∠B=∠BCD，
∴CD=BD，
∴AD=BD，
∴D为AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}AB$=5．
故答案为：5．
（4）∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，AB=10，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×10$=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
当点D从点A运动到点B时，如图4，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，

${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}×5×5\sqrt{3}$=$\frac{25\sqrt{3}}{2}$，
线段EF扫过的面积是：$\frac{25\sqrt{3}}{2}×2=25\sqrt{3}$．
故答案为：25$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了轴对称、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质的综合应用，在第（3）中确定出EF扫过的面积与△ABC的关系是解题的关键．