Question

11．如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是$\widehat{AOB}$的中点，连结AC，BC．下列结论：
①AC=BC； 
②若OA=4，OB=2，则△ABC的面积等于5； 
③若OA-OB=4，则点C的坐标是（2，-2）．
其中正确的结论有（　　）

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 0个

Answer 1

分析 （1）先用弧的中点得出$\widehat{BC}=\widehat{AC}$，再用同圆中，等弧所对的弦相等得出AC=BC，
（2）先在Rt△AOB中，求出AB，再在等腰Rt△ABC中求出AC，BC，最后用直角三角形的面积公式求解即可；
（3）先构造出全等三角形，从而得到AD=BE，CE=CD，再判断出四边形ODCE是正方形，即可．

解答 解：①∵C是$\widehat{AOB}$的中点，
∴$\widehat{BC}=\widehat{AC}$，
∴AC=BC，
∴①正确，
②在Rt△AOB中，OA=4，OB=2，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\sqrt{10}$=5，
∴②正确
③如图，

过点C作CD⊥OA，DE⊥OB，
∴∠BEC=∠ADC=90°
在△BCE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠ADC}\\{∠CBE=∠CAD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD，
∴AD=BE，CE=CD，
∵∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵CE=CD，
∴矩形ODCE是正方形，
∴OD=OD=CD=CE，
∵AD=OA-OD，BE=OB+BE=OB+OD，
∵AD=BE
∴OA-OD=OB+OD，
∵OA-OB=4，
∴OD=2，
∴CD=CE=2
∴C（2，-2）
∴③正确，
故选A．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是构造出△BCE≌△ACD，也是解本题的难点．