Question

17．已知关于x的一元二次方程（m+1）x²-（m+3）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

Answer 1

分析 （1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．

解答 （1）证明：△=（m+3）²-8（m+1）
=m²-2m+1
=（m-1）²，
∵不论m为何值时，（m-1）²≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；

（2）解：解方程得，x=$\frac{（m+3）±（m-1）}{2（m+1）}$，
x₁=1，x₂=$\frac{2}{m+1}$，
∵方程有两个不相等的正整数根，m为整数，
∴m=0．

点评 本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根是解题的关键．