Question

（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为

BC

上一动点，求证：PA=PB+PC．
下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．
证明：在AP上截取AE=CP，连接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB=CB
∵∠1和∠2的同弧圆周角
∴∠1=∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为

BC

上一动点，求证：PA=PC+

2

PB．
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为

BC

上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．

Answer 1

分析：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠E=∠3=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+

2

PB．
（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°．所以PQ=

3

PB，PA=PQ+AQ=

3

PB+PC．

解答：证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，
连接CE．∵∠1=∠2=60°，∠3=∠4=60°，
∴∠CPE=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=PC，∠E=∠3=60°；
又∵∠EBC=∠PAC，
∴△BEC≌△APC，
∴PA=BE=PB+PC．（2分）

（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
又∵∠APB=45°，
∴BP=BE，∴PE=

2

PB；
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE．
∴PA=AE+PE=PC+

2

PB．（4分）

（3）答：PA=PC+

3

PB；
证明：在AP上截取AQ=PC，
连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP．
又∵∠APB=30°，
∴PQ=

3

PB
∴PA=PQ+AQ=

3

PB+PC（7分）

点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质才能灵活运用解决综合性的习题．