Question

已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD延长线于E，M是BC中点．求证：EM=

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2

（AB-AC）．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长BE与AC的延长线交于点F，可证得Rt△AEF≌Rt△AEB，可得AF=AB，则有CF=AB-AC，且E为中点，ME是△BFC的中位线，可得出结论．

解答：证明：延长BE与AC延长线交于F点，过C作CN∥ME，交BF于点N
∵AD平分∠BAC，BE⊥AE
∴∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA，
在△AEF和△AEB中，

∠FAE=∠BAE AE=AE ∠BEA=∠FEA

，
∴△AEF≌△AEB（ASA），
∴BE=EF，AF=AB，且AF=AC+CF，
∴CF=AB-AC，
∵M为BC中点，E为BF中点，
∴ME为△BCF的中位线，
∴EM=

1

2

CF=

1

2

（AB-AC）．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形中位线定理，构造三角形全等把所证结论转化成证明EM=

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CF是解题的关键．