Question

14．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）设y=kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；
（2）根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案；
（3）根据题意结合销量×每本的利润=w，进而利用二次函数增减性求出答案．

解答 解：（1）设y=kx+b，
把（22，36）与（24，32）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{22k+b=36}\\{24k+b=32}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=80}\end{array}\right.$，
则y=-2x+80；

（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意得：（x-20）y=150，
则（x-20）（-2x+80）=150，
整理得：x²-60x+875=0，
（x-25）（x-35）=0，
解得：x₁=25，x₂=35，
∵20≤x≤28，
∴x=35（不合题意舍去），
答：每本纪念册的销售单价是25元；

（3）由题意可得：
w=（x-20）（-2x+80）
=-2x²+120x-1600
=-2（x-30）²+200，
此时当x=30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w_最大=-2（28-30）²+200=192（元），
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每本的利润=w得出函数关系式是解题关键．