Question

【题目】（11分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设直线y=﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；

（4）当E是直线y=﹣x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）存在，P（2，﹣3）；（3）△AEF是等腰直角三角形．理由见解析；（4）△AEF是等腰直角三角形．

【解析】试题分析：（1）依题意联立方程组求出a，b的值后可求出函数表达式；

（2）分别令x=0，y=0求出A、B、C三点的坐标，然后易求直线CM的解析式．证明四边形ANCP为平行四边形可求出点P的坐标；

（3）求出直线y=-x+3与坐标轴的交点D，B的坐标．然后证明∠AFE=∠ABE=45°，AE=AF，可证得三角形AEF是等腰直角三角形；

（4）根据（3）中所求，即可得出当E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论仍成立．

试题解析：(1)根据题意，得，

解得，

∴抛物线对应的函数表达式为y=x22x3；

(2)存在.连接AP，CP，

如下图所示：

在y=x22x3中，令x=0，得y=3.

令y=0，得x22x3=0，

∴x1=1，x2=3.

∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3).

又y=(x1)24，

∴顶点M(1，4)，

容易求得直线CM的表达式是y=x3.

在y=x3中，令y=0，得x=3.

∴N(3，0)，

∴AN=2，

在y=x22x3中，令y=3，得x1=0，x2=2.

∴CP=2，

∴AN=CP.

∵AN∥CP，

∴四边形ANCP为平行四边形，此时P(2，3)；

(3)△AEF是等腰直角三角形.

理由：在y=x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3.

∴直线y=x+3与坐标轴的交点是D(0，3)，B(3，0).

∴OD=OB，

∴∠OBD=45°，

又∵点C(0，3)，

∴OB=OC.

∴∠OBC=45°，

由图知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°，

∴∠EAF=90°，且AE=AF.

∴△AEF是等腰直角三角形；

(4)当点E是直线y=x+3上任意一点时，(3)中的结论：△AEF是等腰直角三角形成立.