Question

18．已知等腰直角△ABC中，AC=BC，AF平分∠CAB交BC于F，BD⊥AD于D．
（1）如图1，求证：BD=CD；
（2）如图2，过C作CE⊥AD于E，求证：BD=$\sqrt{2}$DE；
（3）求$\frac{DF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据∠ACB=∠ADB=90°，得出A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理和等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）延长AC，BD交于点M，得到△ADM≌△ABD，作出BD=DM，AM=AB，由（1）证得A，B，C，D四点共圆，由圆周角定理推出CD=BD，由于CE∥BM，于是得到$\frac{CE}{DM}=\frac{AC}{AM}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，求出∠ECD=∠ECF+∠FCD=∠DAB+∠DAC=45°于是得到结论；
（3）由于△AFC≌△BCM，得到AF=BM=2BD，推出△ADB∽BDF，得到$\frac{DF}{BD}=\frac{BD}{AD}$，通过化简得到$\frac{2DF}{AF}+2-\frac{AF}{DF}$=0，设$\frac{DF}{AF}$=x，解方程2x+2-$\frac{1}{x}$=0，即可得到结果．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DCB=∠DAB，∠DAC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC，
∴BD=CD；

（2）延长AC，BD交于点M，
在△AMD与△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠BAD}\\{AD=AD}\\{∠ADM=∠ADB}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ABD，
∴BD=DM，AM=AB，
由（1）证得A，B，C，D四点共圆，
∵∠CAD=∠BAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴CD=BD，
∵CE⊥AD，
∴CE∥BM，
∴$\frac{CE}{DM}=\frac{AC}{AM}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴∠ECD=∠ECF+∠FCD=∠DAB+∠DAC=45°
∴DE=CE，∵DM=DB，∴$\frac{CE}{MD}=\frac{DE}{BD}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴BD=$\sqrt{2}$DE；

（3）在△AFC与△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠CBM}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCM=90°}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BCM，
∵∠DAB=∠DBF，∠ADB=∠BDF，
∴△ADB∽BDF，
∴$\frac{DF}{BD}=\frac{BD}{AD}$，即：$\frac{2DF}{2BD}=\frac{2BD}{DF+AD}$，
∴2DF（DF+AF）=AF²，
∴2DF²+2DF•AF=AF²=0，
∴$\frac{2DF}{AF}+2-\frac{AF}{DF}$=0，
设$\frac{DF}{AF}$=x，
∴2x+2-$\frac{1}{x}$=0，
解得：x=$\sqrt{3}$-1，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\sqrt{3}$-1．
∴AF=BM=2BD，
∵∠DAB=∠DBF，∠ADB=∠BDF，
∴△ADB∽BDF，
∴$\frac{DF}{BD}=\frac{BD}{AD}$，即：$\frac{2DF}{2BD}=\frac{2BD}{DF+AD}$，
∴2DF（DF+AF）=AF²，
∴2DF²+2DF•AF=AF²=0，
∴$\frac{2DF}{AF}+2-\frac{AF}{DF}$=0，
设$\frac{DF}{AF}$=x，
∴2x+2-$\frac{1}{x}$=0，
解得：x=$\sqrt{3}$-1，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质．全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．