Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-3，该抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，4），以AB为直径的⊙M恰好经过点C．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；并求它的顶点坐标和最值，并分析它的增减性；
（2）设⊙M与y轴的另一个交点为D，请在抛物线的对称轴上求作一点E，使得△BDE的周长最小，并求出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）连接MC，首先求出点A和点B的坐标，根据题意列出a，b和c的三元一次方程组，求出a，b和c的值，进而求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出最大值并分析函数的增减性；
（2）连接AD，交抛物线的对称轴于点E，则点E即为所求作的点，求出直线AD的解析式，令x=-3，求出y的值，即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）连接MC，如图1所示，
在Rt△MCO中，
∵OC=4，OM=3，
∴由勾股定理得MC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{M}^{2}}$=5．
∴MA=MB=5，
∴A（-8，0）、B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4，
∵y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x²+6x+9）+$\frac{9}{4}$+4=-$\frac{1}{4}$（x+3）²+$\frac{25}{4}$，
顶点坐标（-3，$\frac{25}{4}$），
当x=-3时，取最大值为$\frac{25}{4}$，
当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x＜-3时，y随x的增大而增大；

（2）连接AD交抛物线的对称轴于点E，则点E即为所求作的点．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∵A（-8，0）、D（0，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴可求得直线AD所对应的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}$x-4．
当x=-3时，y=-$\frac{5}{2}$．
∴点E的坐标为（-3，-$\frac{5}{2}$）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及轴对称的性质，解答（1）问的关键是点A和点B的坐标，解答（2）问的关键是找出点P的位置，此题难度不大．