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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且点A的坐标为(1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)判断ABC的形状,并证明你的结论;

(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点,当ACM的周长最小时,求点M的坐标.

【答案】(1)顶点D的坐标为(﹣);(2)△ABC是直角三角形(3)当M的坐标为(﹣

【解析】分析:(1)、将点A的坐标代入函数解析式求出b的值,然后将二次函数进行配方从而得出顶点坐标;(2)、根据二次函数的解析式分别得出点A、B、C的坐标,然后分别求出AC、BCAB的长度,然后根据勾股定理的逆定理得出答案;(3)、由抛物线的性质可知,点A与点B关于对称轴对称,则BC与对称轴的交点就是点M,根据一次函数的交点求法得出点M的坐标.

详解:(1)、∵点A(1,0)在抛物线y=﹣x2+bx+2上,∴﹣+b+2=0,解得,b=﹣

抛物线的解析式为y=﹣x2x+2,y=﹣x2x+2=﹣(x+2+

则顶点D的坐标为(﹣);

(2)、△ABC是直角三角形,

证明:点C的坐标为(0,2),即OC=2, x2x+2=0, 解得,x1=﹣4,x2=1,

则点B的坐标为(﹣4,0),即OB=4,OA=1,OB=4, ∴AB=5,

由勾股定理得,AC=,BC=2, AC2+BC2=25=AB2, ∴△ABC是直角三角形;

(3)、由抛物线的性质可知,点A与点B关于对称轴对称,

连接BC交对称轴于M,此时ACM的周长最小, 设直线BC的解析式为:y=kx+b,

由题意得,解得,则直线BC的解析式为:y=x+2,

当x=﹣时,y=, ∴当M的坐标为(﹣).

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