【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且点A的坐标为(1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点,当△ACM的周长最小时,求点M的坐标.
【答案】(1)顶点D的坐标为(﹣,);(2)△ABC是直角三角形(3)当M的坐标为(﹣,)
【解析】分析:(1)、将点A的坐标代入函数解析式求出b的值,然后将二次函数进行配方从而得出顶点坐标;(2)、根据二次函数的解析式分别得出点A、B、C的坐标,然后分别求出AC、BC和AB的长度,然后根据勾股定理的逆定理得出答案;(3)、由抛物线的性质可知,点A与点B关于对称轴对称,则BC与对称轴的交点就是点M,根据一次函数的交点求法得出点M的坐标.
详解:(1)、∵点A(1,0)在抛物线y=﹣x2+bx+2上,∴﹣+b+2=0,解得,b=﹣,
抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2,y=﹣x2﹣x+2=﹣(x+)2+,
则顶点D的坐标为(﹣,);
(2)、△ABC是直角三角形,
证明:点C的坐标为(0,2),即OC=2, ﹣x2﹣x+2=0, 解得,x1=﹣4,x2=1,
则点B的坐标为(﹣4,0),即OB=4,OA=1,OB=4, ∴AB=5,
由勾股定理得,AC=,BC=2, AC2+BC2=25=AB2, ∴△ABC是直角三角形;
(3)、由抛物线的性质可知,点A与点B关于对称轴对称,
连接BC交对称轴于M,此时△ACM的周长最小, 设直线BC的解析式为:y=kx+b,
由题意得,, 解得,, 则直线BC的解析式为:y=x+2,
当x=﹣时,y=, ∴当M的坐标为(﹣,).
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【题目】将1,2,3,...,30,这30个整数,任意分为15组,每组2个数.现将每组数中的一个数记为,另一个数记为,计算代数式的值,15组数代入后可得到15个值,则这15个值之和的最小值为( )
A.B.120C.225D.240
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【题目】某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱,矿泉水的成本价与销售价如表(二)所示:
求:(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱?
(2)该商场售完这500箱矿泉水,可获利多少元?
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【题目】阅读下列材料:已知实数m,n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2﹣1)=80,试求2m2+n2的值
解:设2m2+n2=t,则原方程变为(t+1)(t﹣1)=80,整理得t2﹣1=80,t2=81,∴t=±9因为2m2+n2≥0,所以2m2+n2=9.
上面这种方法称为“换元法”,把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
已知实数x,y满足(4x2+4y2+3)(4x2+4y2﹣3)=27,求x2+y2的值.
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【题目】如图,已知:AD为△ABC的中线,过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE和CF,E、F为垂足,过点E作EG∥AB交BC于点H,连结HF并延长交AB于点P。
(1)求证:DE=DF
(2)若;①求:的值;②求证:四边形HGAP为平行四边形。
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【题目】如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC交AC于点E,已知AD=AB,连接BE交AD于点F,下列结论:①BE=CE;②∠CAD=∠ABE;③S△ABF=3S△DEF;④△DEF∽△DAE,其中正确的有( )
A. 1个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
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【题目】为推动阳光体育活动的广泛开展,引导学生积极参加体育锻炼,学校准备购买一批运动鞋供学生借用.现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号,绘制了如下的统计图①和图②,请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 人,图①中的m的值为 ,图①中“38号”所在的扇形的圆心角度数为 ;
(2)本次调查获取的样本数据的众数是 ,中位数是 ;
(3)根据样本数据,若学校计划购买200双运动鞋,建议购买36号运动鞋多少双?
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【题目】一天,明明和强强相约到距他们村庄560米的博物馆游玩,他们同时从村庄出发去博物馆,明明到博物馆后因家中有事立即返回.如图是他们离村庄的距离y(米)与步行时间x(分钟)之间的函数图象,若他们出发后6分钟相遇,则相遇时强强的速度是_____米/分钟.
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【题目】如图,已知∠AOC=∠BOD=120°,∠BOC=∠AOD.
(1)求∠AOD的度数;
(2)若射线OB绕点O以每秒旋转20°的速度顺时针旋转,同时射线OC以每秒旋转15°的速度逆时针旋转,设旋转的时间为t秒(0<t<6),试求当∠BOC=20°时t的值;
(3)若∠AOB绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转,同时∠COD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转,设旋转的时间为t秒(0<t<18),OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,在旋转的过程中,∠MON的度数是否发生改变?若不变,求出其值:若改变,说明理由.
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