【题目】如图,已知:AD为△ABC的中线,过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE和CF,E、F为垂足,过点E作EG∥AB交BC于点H,连结HF并延长交AB于点P。
(1)求证:DE=DF
(2)若;①求:的值;②求证:四边形HGAP为平行四边形。
【答案】(1)见解析;(2)①,②见解析.
【解析】
(1)根据AD是△ABC的中线得到BD=CD,根据对顶角相等得到∠FDC=∠EDB,又因为∠DFC=∠DEB=90°,即可证得△BDE≌△CDF,继而证出DE=DF;(2)设BH=11x,HC=5x,则BD=CD=BC=8x,DH=3x,HC=5x,根据EH∥AB可得△EDH∽△ADB,再根据相似三角形对应边成比例以及DE=DF得到的值;②进一步求出的值,得到,再根据平行线分线段成比例定理证得FH∥AC ,即PH∥AC,再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形这一定理即可证得四边形HGAP为平行四边形。
解:(1)∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,
∵∠FDC和∠EDB是对顶角,∴∠FDC=∠EDB ,
又∵BE⊥AE,CF⊥AE,∴∠DFC=∠DEB=90°,
∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF.
(2)设则
① ∵EH∥AB
∴△EDH∽△ADB ∴∵
∴
②∵ ∴∵∴FH∥AC ∴PH∥AC
∵EG∥AB∴四边形HGAP为平行四边形
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【题目】如图,将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置.
(1)若AC=6cm,则BE= cm;
(2)若∠CAB=50°,∠BDE=100°,求∠CBE的度数.
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【题目】如图,一次函数y=x-1的图象与坐标轴分别交于A、B两点,与反比例函数y=的图象在第二象限的交点为点C,CD⊥x轴,垂足为点D,若C点横坐标为-4,
(1)反比例函数的关系式及E点坐标;
(2)利用图像,当x<0时,写出 的解集.
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【题目】在一个不透明的袋中装有5个只有颜色不同的球,其中3个黄球,2个黑球.
(1)求从袋中同时摸出的两个球都是黄球的概率;
(2)现将黑球和白球若干个(黑球个数是白球个数的2倍)放入袋中,搅匀后,若从袋中摸出一个球是黑球的概率是,求放入袋中的黑球的个数.
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【题目】某书店积极响应政府“改革创新,奋发有为”的号召,举办“读书节“系列活动.活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的1.5倍,若顾客用540元购买图书,能单独购买故事类图书的数量恰好比单独购买典籍类图书的数量少10本.
(1)求活动中典籍类图书的标价;
(2)该店经理为鼓励广大读者购书,免费为购买故事类的读者赠送图1所示的精致矩形包书纸.在图1的包书纸示意图中,虚线是折痕,阴影是裁剪掉的部分,四角均为大小相同的正方形,正方形的边长为折叠进去的宽度.已知该包书纸的面积为875cm2(含阴影部分),且正好可以包好图2中的《中国故事》这本书,该书的长为21cm,宽为15cm,厚为1cm,请直接写出该包书纸包这本书时折叠进去的宽度.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且点A的坐标为(1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点,当△ACM的周长最小时,求点M的坐标.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,tanB=.半径为2的⊙C, 分别交AC、BC于点D、E,得到 .
(1)求证:AB为⊙C的切线;
(2)求图中阴影部分的面积.
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【题目】已知AB是⊙O的直径,C是圆上一点,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E,如图①.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=10,AC=6,求BD的长;
(3)如图②,若F是OA中点,FG⊥OA交直线DE于点G,若FG=,tan∠BAD=,求⊙O的半径.
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