Question

4．已知AB为⊙O的直径，AB=10，AC为弦．
（1）如图1，弦AE平分∠CAB，AC=6，求AE的长．
（2）如图2，弦CD平分∠ACB，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，若$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{3}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接BE，连接BC交AE于G，根据圆周角定理和勾股定理以及角平分线的性质证明△CAG∽△EAB，根据相似三角形的性质得到答案；
（2）连接OD，作OF⊥CD于F，根据平行线的性质求出AP、PB、OP的长，根据角平分线的性质得到$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AP}{BP}$=$\frac{4}{3}$，求出AC，得到AM的长，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）连接BE，连接BC交AE于G，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∵弦AE平分∠CAB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CG}{BE}$，
∴CG=3，BG=5，
∵∠CAE=∠EAB，∠ACB=∠AEB=90°，
∴△CAG∽△EAB，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{GC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
设BE=x，则AE=2x，
由勾股定理得，（2x）²+x²=100，
解得，x=2$\sqrt{5}$，
则AE=2x=4$\sqrt{5}$；
（2）连接OD，作OF⊥CD于F，设AB交CD于点P，
∵AM⊥CD，BN⊥CD，
∴AM∥BN，
∴$\frac{AP}{BP}$=$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{3}$，又AB=10，
∴AP=$\frac{40}{7}$，BP=$\frac{30}{7}$，
则OP=$\frac{5}{7}$，
∵弦CD平分∠ACB，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AP}{BP}$=$\frac{4}{3}$，
∴AC=8，
又∵∠CAM=45°，
∴AM=4$\sqrt{2}$，
∵$\frac{OF}{AM}$=$\frac{PO}{PA}$，
∴OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴DF=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=2DF=7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用相关定理是解题的关键，注意相似三角形的判定和性质的应用．