Question

14．不解方程，判断下列方程是否有实数根．如果有实数根，求出方程的两根之和与两根之积：
（1）x²-3x-1=0；
（2）（x-2）（2x-1）=5；
（3）（2x-1）²=3x；
（4）$\frac{2x^{2}-5x}{4}$=$\frac{x+1}{2}$．

Answer 1

分析 将题目中的各个方程化为一般形式，然后根据△的值，判断方程的根的情况，然后根据根与系数的关系可以求得方程的两根之和与两根之积．

解答 解：（1）x²-3x-1=0
∵a=1，b=-3，c=-1，
∴△=b²-4ac=（-3）²-4×1×（-1）=13＞0．
∴方程有两个不等的实数根．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{1}=3$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$．
（2）（x-2）（2x-1）=5
化简，得  2x²-5x-3=0．
∵a=2，b=-5，c=-3，
∴△=b²-4ac=（-5）²-4×2×（-3）=49＞0．
∴方程有两个不等的实数根．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$．
（3）（2x-1）²=3x
化简，得   4x²-7x+1=0．
∵a=4，b=-7，c=1，
∴△=b²-4ac=（-7）²-4×4×1=33＞0．
∴方程有两个不等的实数根．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{4}$．
（4）$\frac{2x^{2}-5x}{4}$=$\frac{x+1}{2}$
化简，得  2x²-7x-2=0．
∵a=2，b=-7，c=-2，
∴△=b²-4ac=（-7）²-4×2×（-2）=65＞0．
∴方程有两个不等的实数根．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-2}{2}=-1$．

点评 本题考查根的判别式、根与系数的关系，关键是将方程进行化简，化为一般形式．