Question

【题目】某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．

（1）请求出y与x的函数关系式；

（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 200 元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的售单价？

Answer 1

【答案】（1）y=－10x+400；（2）单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元；（3）销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550元．

【解析】

（1）利用待定系数法将（30，100），（35，50）代入可得函数关系式；

（2）根据利润=单件利润×销售量，列出函数关系式并配方可得最值；

（3）画出函数的大致图象，当W=550时x=25或35，知25≤x≤35时，W≥550．

（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，

将（30，100），（35，50）代入y=kx+b，得，

解得，

∴y与x的函数关系式为y=－10x+400；

（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，

由题意得 w=（x－20）·y=（x－20）（－10x+400）=－10x2+600x－8000 =－10（x－30）2 +1000，

∵－10＜0，

∴当x=30时，w有最大值，w最大值为1000．

答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元；

（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，

由题意可得z=－10x2+600x－8000－200 =－20x2+600x－8200，

令z=550，

即－10x2+600x－8200=550，

解得x1=25，x2=35，

画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图，

由图象可得:当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550元．