Question

【题目】已知：在△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH=CH，∠ABH=70°，则∠BAC=_____°．

Answer 1

【答案】75°或35°

【解析】

分析题意，可知本题需分两种情况进行讨论，△ABC为锐角三角形和△ABC为直角三角形；

当△ABC为钝角三角形时，过A作BC的垂线，交CB的延长线于点H，由AB+BH=CH，不难得出AB=BC，接下来，再利用三角形外角的性质，可得∠BAC的度数；

当△ABC为锐角三角形时，在HC上取D点，使BH=HD，连接AD，再结合AB+BH=CH，不难得出AD=DC，接下来，再利用三角形外角的性质，可得∠DAC的度数；

由∠ABH=70°，利用等腰三角形的性质可得出∠BAD的度数，结合上述所得，可得∠BAC的度数.

根据题意画出图形，

当△ABC为钝角三角形时，过A作BC的垂线，交CB的延长线于点H，

∵AB+BH=CH，HB+BC=CH，

∴AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB.

∵∠ABH=70°，

∴∠BAC=∠ACB=35°.

当△ABC为锐角三角形时，在HC上取D点，使BH=HD，连接AD，

∵AB+BH=HC=HD+DC，BH=HD，

∴AB=DC.

∵AH⊥BD，BH=HD，

∴AB=AD，

∴∠B=∠ADH=70°，

∴∠BAD=40°.

∵AB=DC，AB=AD，

∴AD=CD，

∴∠C=∠DAC，

∴∠ADH=∠C+∠DAC=2∠C，

∴∠DAC=35°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=40°+35°=75°.

故答案为：75°或35°