Question

【题目】在△ABC中,∠ACB=900，AC=BC=4，M为AB的中点,D是射线BC上一个动点, 连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转900，得到线段AE,连接DE,N为DE的中点, 连接AN,MN.

(1)如图1，当BD=2时,AN= ,NM= ,MN与AB的位置关系是 .

(2)当4<BD<8时.

①依题意补全图2：

②判断(1)中MN与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论.

(3)连接ME，在点D运动的过程中，当BD/的长为何值时，ME的长最小，最小值是多少？请直接写出结果.

Answer 1

【答案】（1），垂直（2）①图形见解析②位置关系不变，

【解析】试题分析：（1）根据已知条件得到CD=2，根据勾股定理得到AD==2，根据旋转的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE=AD=2，根据直角三角形的性质得到AN=DE=，AM=AB=2，推出△ACD∽△AMN，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN+∠NAM=45°根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性质得到∠AMN=∠ACD，即可得到结论；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠K=45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4，MB=2，由ME≥MG，于是得到当ME=MG时，ME的值最小，根据等量代换即可得到结论．

试题解析：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，

∴CD=2，

∴AD==2，

∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE=AD=2，

∵N为ED的中点，

∴AN=DE=，

∵M为AB的中点，

∴AM=AB=2，

∵， ，

∴ = ，

∵∠CAB=∠DAN=45°，

∴∠CAD=∠MAN，

∴△ACD∽△AMN，

∴∠AMN=∠C=90°，

∴MN⊥AB，

故答案为： ，垂直；

(2)①补全图形如图2所示,

②(1)中NM与AB的位置关系不发生变化，

理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠B=45°，

∴∠CAN+∠NAM=45°，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，

∴AD=AE,∠DAE=90°，

∵N为ED的中点，

∴∠DAN=12∠DAE=45°，AN⊥DE，

∴∠CAN+∠DAC=45°，

∴∠NAM=∠DAC,在Rt△AND中,ANAD=cos∠DAN=cos45°=2，

同理ACAB=2 ，

∴ = ，，

∵∠DAC=45°∠CAN=∠MAN，

∴△ANM∽△ADC，

∴∠AMN=∠ACD，

∵D在BC的延长线上，

∴∠ACD=180°∠ACB=90°，

∴∠AMN=90°，

∴MN⊥AB；

(3)连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，

则△AKB等腰直角三角形，

在△ADK与△ABE中，

，

∴△ADK≌△ABE，

∴∠ABE=∠K=45°，

∴△BMG是等腰直角三角形，

∵BC=4，

∴AB=4,MB=2，

∴MG=2，

∵∠G=90°，

∴MEMG，

∴当ME=MG时，ME的值最小，

∴ME=BE=2，

∴DK=BE=2，

∵CK=BC=4，

∴CD=2，

∴BD=6，

∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是2.