Question

在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）若设BE=x，CM=y，求y与x的函数关系式；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分面积．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；
（2）由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=-

x2

5

+

6

5

x=-

1

5

（x-3）²+

9

5

；
（3）由（2）中的函数关系式可以求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；

（2）解：∵由（1）知，△ABE∽△ECM，
∴

CM

BE

=

CE

AB

，
即：

CM

x

=

6-x

5

，
∴CM=-

x2

5

+

6

5

x=-

1

5

（x-3）²+

9

5

，
∴y=AM=5-CM=

1

5

（x-3）²+

16

5

，
即y与x的函数关系式是y=-

1

5

（x-3）²+

9

5

；

（3）由（2）知，y=AM=-

1

5

（x-3）²+

9

5

，
∴当x=3时，AM最短为

16

5

，
又∵当BE=x=3=

1

2

BC时，
∴点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴AE=

AB2-BE2

=4，
此时，EF⊥AC，
∴EM=

CE2-CM2

=

12

5

，
S_△AEM=

1

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．