Question

11．如图所示，直线y=-3x+6交x轴、y轴于A、B两点，BC⊥AB，且D为AC的中点，双曲线y=$\frac{k}{x}$过点C，则k=-$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 求出A、B坐标，根据D为斜边上的中线，得到BD=AD，设出D点坐标，表示出BD长度，即为AD长度，在Rt△AO中，求出m的值，再求出BC的解析式，AD的解析式，组成方程组，解出C点坐标，代入反比例函数解析式即可求出k的值．

解答 解：当x=0时，y=6，则B（0，6）；
当y=0时，x=2，则A（2，0）；
∵BC⊥AB，D为AC中点，
∴DB=AD，
设D（0，m），则AD=BD=6-m，
Rt△ABC中，2²+m²=（6-m）²，
解得m=$\frac{8}{3}$，
则D（0，$\frac{8}{3}$）．
∵BC⊥AB，
∴设BC解析式为y=$\frac{1}{3}$x+b，把B（0，6）代入得，b=6，函数解析式为y=$\frac{1}{3}$x+6，
设AD解析式为y=nx+a，
把A（2，0），D（0，$\frac{8}{3}$）分别代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}2n+a=0\\ a=\frac{8}{3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{8}{3}\\ n=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
函数解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$，
将y=$\frac{1}{3}$x+6和y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$组成方程组得，$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+6\\ y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=\frac{16}{3}\end{array}\right.$，
故C点坐标为（-2，$\frac{16}{3}$），
将C（-2，$\frac{16}{3}$）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=-$\frac{32}{3}$，
故答案为-$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数综合题，涉及勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、方程组的解与函数图象交点的关系等知识，综合性强，值得关注．