已知.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示.A点坐标为.点D为AC的中点.点E为线段AB上一动点.连接DE经过点A.B.C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．(1)求抛物线的解析式,(2)如图①.将△ADE以DE为轴翻折.点A的对称点为点G.当点G恰好落在抛物线的对称轴上时.求G点的坐标,(3)如图②.当点E在线段AB上运动时.抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（-4，0），B点坐标为（6，0），点D为AC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将△ADE以DE为轴翻折，点A的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；
（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax²+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据线段中点的性质，可得D点坐标，根据勾股定理，可得AC的长，根据翻折的性质，可得DG的长，再根据勾股定理，可得方程，根据解方程，可得答案．
（3）根据平行四边形的性质，可得答案．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+8经过点A（-4，0），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+8=0}\\{36a+6b+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8；

（2）如图1，
作DM⊥抛物线的对称轴于点M，
设G点的坐标为（1，n），由翻折的性质，可得AD=DG，
∵A（-4，0），C（0，8），点D为AC的中点，
∴点D的坐标是（-2，4），
∴点M的坐标是（1，4），DM=1-（-2）=1+2=3，
∵B（6，0），C（0，8），
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AD=2$\sqrt{5}$，
在Rt△GDM中，DG²=DM²+MG²
3²+（4-n）²=20，解得n=4$±\sqrt{11}$，
∴G点的坐标为（1，4+$\sqrt{11}$）或（1，4-$\sqrt{11}$）；

（3）存在．
C（0，8），D（-2，4），符合条件的点E、F的坐标为：
①如图2，
CD∥EF，且CD=EF，?CDEF时，对角线的交点（-$\frac{1}{2}$，4），E₁（-1，0），F₁（1，4）；
②如图3，
CD∥EF，且CD=EF，?CDFE时，对角线的交点（$\frac{1}{2}$，2），E₂（3，0），F₂（1，-4）；
③如图4，
DE∥CF，DE=CF，?DECF时，对角线的交点（-1，6），E₃（-3，0），F₃（1，12）．
综上所述：E₁（-1，0），F₁（1，4）；E₂（3，0），F₂（1，-4）；E₃（-3，0），F₃（1，12）．

点评本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用翻折的性质得出DG的长；解（3）的关键是利用平行四边形的对角线互相平分，要分类讨论，以防遗漏．

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