Question

4．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D分别落在A′，D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，$\frac{CF}{BE}$的值为（　　）

• A． $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3-\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{3+\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，设CF=x，FD=y，AE=a，则CD=x+y，根据菱形对角相等求得∠DCB=∠A=60°，由折叠得：∠BD′F=∠D=120°，则∠FD′M=60°，求得∠M=30°，根据30°的余切列式：tan30°=$\frac{D′F}{FM}$，得y=（$\sqrt{3}$+1）x，再证明△A′EB也是60°的直角三角形，根据60°的余切列式并整理得出：AB=a+$\sqrt{3}$a，根据AB=CD列式：x+y=a+$\sqrt{3}$a，得出结论．

解答 解：延长FC、A′D′交于M，
设CF=x，FD=y，则CD=x+y，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴AB∥CD，∠DCB=∠A=60°，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠D=120°，
由折叠得：∠BD′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°-120°=60°，
∵D′F⊥CD，
∴∠D′FC=90°，
∴∠M=90°-60°=30°，
在Rt△FOC中，∠DCB=60°，
∵∠DCB=∠CBM+∠M，
∴∠CBM=60°-30°=30°，
∴∠CBM=∠M，
∴CB=CM=x+y，
由折叠得：D′F=DF=y，
tan∠M=tan30°=$\frac{D′F}{FM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{y}{2x+y}$，
∴$\frac{x}{y}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴y=（$\sqrt{3}$+1）x，
∵∠ABC=∠D=120°，∠CBM=30°，
∴∠ABM=120°+30°=150°，
∵∠A=∠A′=60°，
∴∠A′EB=150°-60°=90°，
设AE=a，则A′E=a，
tan∠A′=tan60°=$\frac{BE}{A′E}$=$\frac{BE}{a}$，
∴BE=$\sqrt{3}$a，
∵DC=AB，
∴x+y=a+$\sqrt{3}$a，
x+（$\sqrt{3}$+1）x=（$\sqrt{3}$+1）a，
$\frac{x}{a}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$，
∴$\frac{x}{\sqrt{3}a}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+3}$，
∴$\frac{FC}{BE}$=$\frac{x}{\sqrt{3}a}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+3}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了翻折变换和菱形的性质，及30°的直角三角形，从所要求比值的两条边入手，设未知数，作辅助线，构建直角三角形，根据菱形有关角的性质：菱形的对角相等、邻角互补，得出相应角的度数，利用特殊的三角函数值列式，并整理成方程求解．