Question

9．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，点D为AC延长线上一点，连接BD，过A作AM⊥BD，垂足为M，交BC于点N．
（1）如图1，若∠ADB=30°，BC=2$\sqrt{2}$，求AM的长；
（2）如图2，点E在CA的延长线上，且AE=CD，连接EN并延长交BD于点F，求证：EF=FD；
（3）在（2）的条件下，当AE=$\frac{1}{2}$AC时，请直接写出$\frac{EN}{NF}$的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ABC是等腰直角三角形，进而求出AB，BD，AD，最后根据等面积直接求出AM；
（2）先判断∠NBM=∠NAH=∠PCB，进而判断出△BHP≌△AHN，再判断出∠EAN=∠PCD，即可得出△AEN≌△CDP，最后用等角对等边即可；
（3）先判断出AC=2AE设出AE=a，进而表示出EQ，AD，再用等角的同名三角函数值相等，得出NR=$\frac{3}{2}$AR，即可表示出AR，RQ，最后代值即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=2，
∵∠ADB=30°，
∴BD=4，AD=2$\sqrt{3}$，
根据等面积法可得，AB•AD=AM•BD，
∴2×2$\sqrt{3}$=4•AM，
∴AM=$\sqrt{3}$，
（2）如图1，
作AH⊥BC，AH延长线与BD交于P，连接CP，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH=BH=CH，BP=CP，∠PBC=∠PCB，
∵AM⊥BD，AH⊥BC，
∴∠BMN=∠AHN=90°，∠BNM=∠ANH，
∴∠NBM=∠NAH=∠PCB，
在△BHP和△AHN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NBM=∠NAH}\\{AH=BH}\\{∠BHP=∠AHN=90°}\end{array}\right.$，
∴△BHP≌△AHN，
∴BP=AN，
∴CP=AN，
∵∠PCB=∠PAM，
∴∠MAD=∠PAM+45°=∠PCB+45°=∠PCA，
∴∠EAN=∠PCD，
在△AEN和△CDP中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=AE}\\{∠EAN=∠PCD}\\{AN=CP}\end{array}\right.$，
∴△AEN≌△CDP，
∴∠E=∠D，
∴EF=DF，
（3）如图2，
过点F作FQ⊥AC于Q，
由（2）可得，Q是DE的中点，
过N作NQ⊥AC于R，
设AE=a，
∵AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴EQ=2a，AD=3a，
∴$\frac{NR}{AR}$=tan∠ABD=tan∠MAD=$\frac{AD}{EQ}$=$\frac{3}{2}$，
∵NR=CR，AC=AR+CR=2a，
∴$\frac{NR}{AR}=\frac{3}{2}$，
∴NR=$\frac{3}{2}$AR，
∴$\frac{3}{2}$AR+AR=2a，
∴AR=$\frac{4}{5}$a，
∴RQ=$\frac{1}{5}$a，
∴$\frac{EN}{NF}=\frac{ER}{RQ}=\frac{\frac{4}{5}a+a}{\frac{1}{5}a}$=$\frac{9}{1}$=9．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解本题的关键是△BHP≌△AHN和∠EAN=∠PCD，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较难的中考常考题．