Question

9．如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）若DP⊥AC，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质可得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，进而可得判定△APQ∽△CDQ；
（2）首先证明△ADQ∽△ACD，根据相似三角形的性质可得 $\frac{AD}{AC}$=$\frac{AQ}{AD}$，然后计算出AC长，进而可得AQ长，再证明△AQP∽△ABC，可得 $\frac{AQ}{AP}$=$\frac{AB}{AC}$，由此解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，
∴△APQ∽△CDQ；

（2）解：∵∠ADC=90°，DP⊥AC，
∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°，
∵∠DAQ=∠CAD，
∴△ADQ∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AQ}{AD}$，
∵AC=$\sqrt{1{0}^{2}+2{0}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
则AQ=$\frac{A{D}^{2}}{AC}$═2 $\sqrt{5}$，
∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC，
∴△AQP∽△ABC，
∴$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{AB}{AC}$，
则 $\frac{2\sqrt{5}}{AP}$=$\frac{20}{10\sqrt{5}}$，
解得：AP=5，

点评 此题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，灵活运用相似三角形的性质解决问题．