Question

14．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是求M、N
（1）求证：AE=MN；
（2）若AE=2，∠DAE=30°，求正方形的边长．

Answer 1

分析 （1）连接EC，根据题意可得出四边形EMCN为矩形，故MN=CE，再由SAS定理得出△ABE≌△CBE，进而可得出结论；
（2）过点E作EF⊥AD，由直角三角形的性质可得出EF及AF的长，再由等腰直角三角形的性质得出DF的长，进而可得出结论．

解答 （1）证明：连接EC．
∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，
∴四边形EMCN为矩形．
∴MN=CE．
又∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE=∠CBE．
在△ABE和△CBE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴AE=EC．
∴AE=MN．

（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，
∵AE=2，∠DAE=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE=1，AF=AE•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EDF=45°，
∴DF=EF=1，
∴AD=AF+DF=$\sqrt{3}$+1，即正方形的边长为$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角是解答此题的关键．