【题目】以C为直角顶点的两个等腰直角△CAB和△CDG,E为AB的中点,F为DG的中点.
(1)如图1,点A、B分别在边CD,CG上,则EF与AD的数量关系是______________;
(2)如图2,点A、B不在边CD、CG上,(1)中EF与AD的关系还成立吗?请证明你的结论;
(3)如图3,若A、B、G在同一直线上,且A、C、B、F在同一圆上,直接写出△CDG与△CAB面积之比.
【答案】(1)AD=EF;(2)成立,证明见解析;(3).
【解析】试题分析:(1)连接CE、CF,证明C、E、F三点共线,然后在Rt△ACE中,由∠A=45°,可得AC=CE,同理,DC=CF,再根据AD=CD-AC,推导即可得;
(2)成立,连接CE、CF,通过证明△ACD∽△ECF,根据相似三角形对应边成比例即可得;
(3)连接CE,由A、C、B、F在同一圆上,可知点E为圆心,从而可得CE=EF,再由(2)AD=EF、AC=CE从而可得AC=AD,由已知可得△ACD≌△BCG,从而可得∠ADC=∠AGB=22.5°,可得∠DAG=90°,设AE=x,则AB =2x,AG=2x+x,AD=x,由勾股定理DG2= (8+4)x2,再由△CDG∽△CAB,可得.
试题解析:(1)如图(1)连接CE,CF,
∵CA=CB,CD=CG,E为AB中点,F为DG中点,∴CE⊥AB,CF⊥DG,
∵∠C=90°,∴∠CAB=∠CDG=45°,∴AB//DG,∴C、E、F三点共线,
在Rt△ACE中,∠A=45°,∴AC=CE,
同理,DC=CF,
∵AD=CD-AC,EF=CF-CE,
∴AD=EF,
故答案为:AD=EF;
(2)成立.
连接CE、CF,
∵∠ACB=∠DCG=90°,CA=CB,CD=CG,AE=BE,DF=GF,
∴∠ACE=45°,∠DCF=45°,∠CAB=∠CDG=45°,∠AEC=∠DFC=90°,
∴∠ACD=∠ECF,
在Rt△ACE中,∠CAE=45°,∴AC=CE,
同理,DC=CF,
∴AC:CE=DC:CF,
∴△ACD∽△ECF,∴AD:EF=AC:CE=,
∴AD=EF;
(3)连接CE,
∵A、C、B、F四点共圆,∠ACB=90°,AE=EB,∴E为圆心,
∴AE=CE=EF=BE,
∵∠ACB=∠DCG=90°,∴∠ACD=∠BCG,
∵AC=BC,DC=GC,∴△ACD≌△BCG,
∴BG=AD,∠CDA=∠CGB,
由(2)AD=EF、AC=CE,∴AD=AC,
∴CB=BG,∴∠BCG=∠BGC,
∵∠BCG+∠BGC=∠ABC=45°,
∴∠BGC=22.5°,
∴∠ADC=22.5°,
∵∠CGD=∠CDG=45°,∴∠AGD=22.5°,
∴∠AGD+∠CDG+∠ADC=90°,
∴∠DAG=90°,
设AE=x,则AB =2x,AG=2x+x,AD=x,
由勾股定理DG2=AD2+AG2,
∴DG2=(x)2+(2x+x)2=(8+4)x2,
∵△CDG∽△CAB,
∴.
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【题目】已知,如图点P是△ABC的边BC上的一动点,点E与点P关于直线AB成轴对称,连接EP交AB于点F,连接AP、EC相交于点O,连接AE.
(1)判断AE与AP的数量关系,并说明理由.
(2)在点P的运动过程中,当AE∥BC时,判断AP与BP的数量关系,并说明理由.
(3)若∠BAC=900,点P在运动过程中是否存在线段AP与线段EC互相平分的情况,若存在,请求出点P的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,直线分别与x轴、y轴交于两点,与直线交于点C(4,2).
(1)点A坐标为( , ),B为( , );
(2)在线段上有一点E,过点E作y轴的平行线交直线于点F,设点E的横坐标为m,当m为何值时,四边形是平行四边形;
(3)若点P为x轴上一点,则在平面直角坐标系中是否存在一点Q,使得四个点能构成一个菱形.若存在,求出所有符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,点P从(0,2)出发,沿所示的方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第2019次碰到矩形的边时点P的坐标为( )
A.( 2,4 )B.( 2,0 )C.( 8,2)D.( 6,0 )
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【题目】如图,在△ABC中,∠C= 90°,D是BC边上一点,以DB为直径的⊙O经过AB的中点E,交AD的延长线于点F,连接EF.
(1)求证:∠1= ∠F;
(2)若CD= 3,EF=,求⊙O的半径长.
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【题目】尺规作图,不写作法,但要求保留作图痕迹.
(1)已知:线段a和∠α,如图.求作:△ABC,使得AB=a,∠ABC=∠α.∠BAC=2∠α.
(2)在(1)的条件下,若∠ABC=360,求∠ACB的度数.
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【题目】已知n边形的内角和θ=(n﹣2)×180°.
(1)甲同学说,θ能取900°;而乙同学说,θ也能取800°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了540°,用列方程的方法确定x.
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【题目】如图,已知一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A(﹣1,m)、B(n,﹣1)两点.
(1)求出A、B两点的坐标;
(2)求出这个一次函数的表达式;
(3)根据图象,写出使一次函数值大于反比例函数值的x的范围.
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