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【题目】C为直角顶点的两个等腰直角△CAB和△CDGEAB的中点,FDG的中点.

1)如图1,点AB分别在边CDCG上,则EFAD的数量关系是______________

2)如图2,点AB不在边CDCG上,(1)中EFAD的关系还成立吗?请证明你的结论;

3)如图3,若ABG在同一直线上,且ACBF在同一圆上,直接写出△CDG与△CAB面积之比.

【答案】1AD=EF;(2成立,证明见解析;(3

【解析】试题分析:(1)连接CECF,证明CEF三点共线,然后在RtACE中,由A=45°可得AC=CE同理,DC=CF再根据AD=CD-AC,推导即可得;

2)成立,连接CECF,通过证明△ACD∽△ECF,根据相似三角形对应边成比例即可得;

(3)连接CE,由ACBF在同一圆上,可知点E为圆心,从而可得CE=EF,再由(2)AD=EFAC=CE从而可得AC=AD,由已知可得△ACD≌△BCG,从而可得∠ADC=∠AGB=22.5°,可得∠DAG=90°,设AE=x,则AB =2x,AG=2x+x,AD=x,由勾股定理DG2= (8+4)x2,再由△CDG∽△CAB,可得.

试题解析:(1)如图(1)连接CECF

∵CA=CBCD=CGEAB中点,FDG中点,∴CEABCFDG

∵∠C=90°∴∠CAB=∠CDG=45°∴AB//DG∴CEF三点共线,

RtACE中,∠A=45°AC=CE

同理,DC=CF

∵AD=CD-ACEF=CF-CE

AD=EF

故答案为:AD=EF

2)成立.

连接CE、CF,

∵∠ACB=∠DCG=90°,CA=CB,CD=CG,AE=BE,DF=GF,

∴∠ACE=45°,∠DCF=45°,∠CAB=∠CDG=45°,∠AEC=∠DFC=90°,

∴∠ACD=∠ECF,

RtACE中,∠CAE=45°AC=CE

同理,DC=CF

∴ACCE=DCCF

∴△ACD∽△ECF,∴AD:EF=AC:CE=

AD=EF

3连接CE

ACBF四点共圆,∠ACB=90°AE=EB∴E为圆心,

∴AE=CE=EF=BE

∵∠ACB=∠DCG=90°∴∠ACD=∠BCG

∵AC=BCDC=GC△ACD≌△BCG,

∴BG=AD,∠CDA=∠CGB,

由(2AD=EFAC=CE∴AD=AC,

∴CB=BG,∴∠BCG=∠BGC,

∵∠BCG+∠BGC=∠ABC=45°,

∴∠BGC=22.5°,

∴∠ADC=22.5°,

∵∠CGD=∠CDG=45°,∴∠AGD=22.5°,

∴∠AGD+∠CDG+∠ADC=90°,

∴∠DAG=90°,

设AE=x,则AB =2x,AG=2x+x,AD=x,

由勾股定理DG2=AD2+AG2

∴DG2=(x)2+(2x+x)2=(8+4)x2

∵△CDG∽△CAB,

.

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