Question

【题目】阅读下列材料：

数学课上，老师出示了这样一个问题：

如图，菱形和四边形，，连接，，.

求证：；

某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：

小明：“通过观察分析，发现与存在某种数量关系”；

小强：“通过观察分析，发现图中有等腰三角形”；

小伟：“利用等腰三角形的性质就可以推导出”.

……

老师：“将原题中的条件‘’与结论‘’互换，即若，则，其它条件不变，即可得到一个新命题”.

……

请回答：

（1）在图中找出与线段相关的等腰三角形（找出一个即可），并说明理由；

（2）求证：；

（3）若，则是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）先利用菱形的性质，得出是等边三角形，再利用等边三角形的性质，即可解答

（2）设，根据菱形的性质得出，由（1）可知，即可解答

（3）连接，在上取点，使，延长至，使，连接，连接，设与的交点为，首先证明，再根据全等三角形的性质得出是等边三角形，然后再证明，即可解答

（1）是等腰三角形；

证明：∵四边形是菱形，∴，

∵，∴是等边三角形，

∴.

∵，∴，

∴是等腰三角形.

（2）设.

∵四边形是菱形，∴，

∴.

由（1）知，，同理可得：.

∴，

∴，∴，

∴.

∴.

（3）成立；

证明：如图2，连接，在上取点，使，延长至，使，连接，连接，设与的交点为.

∵，，∴.

∵，

∴（ASA），

∴，，

∴，∴.

∵，

∵，∵，∴是等边三角形，

∴.

∵，

∵，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴，

∵，

∴.