Question

如图，抛物线y=x²-2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，-m）作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令y=0即可求得A点坐标，令x=1求得B点，根据对称轴的性质即可求得C点的坐标．
（2）分别求出PA、PC、AC的平方，根据勾股定理的逆定理即可求得m的值，
（3）先求出PC的斜率，根据互为垂直的两直线的斜率互为负倒数求出直线PE的斜率，然后求出解析式，分别求出与x轴的交点和与y轴的交点，从而求出PE的长，然后判断PE²是否等于PC²即可．

解答：解：（1）若m=2，抛物线y=x²-2mx=x²-4x，
∴对称轴x=2，
令y=0，则x²-4x=0，
解得x=0，x=4，
∴A（4，0），
∵P（1，-2），令x=1，则y=-3，
∴B（1，-3），
∴C（3，-3）．

（2）∵抛物线y=x²-2mx（m＞1），
∴A（2m，0）对称轴x=m，
∵P（1，-m）
把x=1代入抛物线y=x²-2mx，则y=1-2m，
∴B（1，1-2m），
∴C（2m-1，1-2m），
∵PA²=（-m）²+（2m-1）²=5m²-4m+1，
PC²=（2m-2）²+（1-m）²=5m²-10m+5，
AC²=1+（1-2m）²=2-4m+4m²，
∵△ACP为直角三角形，
∴当∠ACP=90°时，PA²=PC²+AC²，
即5m²-4m+1=5m²-10m+5+2-4m+4m²，整理得：4m²-10m+6=0，
解得：m=

3

2

，m=1（舍去），
当∠APC=90°时，PA²+PC²=AC²，
即5m²-4m+1+5m²-10m+5=2-4m+4m²，整理得：6m²-10m+4=0，
解得：m=

2

3

，m=1，

2

3

和1都不符合m＞1，
故m=

3

2

．

（3）设点F（x，y）是直线PE上任意一点，过点F作FN⊥PM于N，
∵∠FPN=∠PCB，∠PNF=∠CBP=90°，
∴Rt△FNP∽Rt△PBC，
∴NP：NF=BC：BP，即

y+m

x-1

=

2

1

，
∴y=2x-2-m，
∴直线PE的解析式为y=2x-2-m．
令y=0，则x=1+

1

2

m，
∴E（1+

1

2

m，0），
∴PE²=（-m）²+（

1

2

m）²=

5m2

4

，
∴

5m2

4

=5m²-10m+5，解得：m=2，m=

2

3

，
∴E（2，0）或E（

4

3

，0），
∴在x轴上存在E点，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（2，0）或E（

4

3

，0）；
令x=0，则y=-2-m，
∴E（0，-2-m）
∴PE²=（-2）²+1²=5
∴5m²-10m+5=5，解得m=2，m=0（舍去），
∴E（0，-4）
∴y轴上存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（0，-4），
∴在坐标轴上是存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，E点的坐标为（2，0）或（

4

3

，0）或（0，-4）；

点评：本题考查了二次函数的交点的求法，以及直角三角形的判定，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等．