Question

在综合实践活动课中，王老师出了这样一道题：
如图1，在矩形ABCD中，M是BC的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．求证：四边形OEMF是菱形．
做完题后，同学们按照老师的要求进行变式或拓展，提出新的问题让其它同学解答．
（1）小明同学说：“我把条件中的‘矩形ABCD’改为‘菱形ABCD’，如图2所示，发现四边形OEMF是矩形．”请给予证明；
（2）小芳同学说：“我把条件中的‘点M是BC的中点’改为‘点M是BC延长线上的一个动点’，发现点F落在AC的延长线上，如图3所示，此时OB、ME、MF三条线段之间存在某种数量关系．”请你写出这个结论，并说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）首先证得四边形OEMF是平行四边形，然后利用菱形的对角线互相垂直证得∠EOF=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形证得结论；
（2）根据四边形OEMF是平行四边形，得到OE=MF，根据四边形ABCD是矩形，得到OB=

1

2

BD，OC=

1

2

AD，且AC=BD，从而得到OB=OC，进一步得到BE=ME，从而证得结论OB=BE-OE=ME-MF．

解答：（1）证明：∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠EOF=90°，
∴四边形OEMF是矩形．

（2）结论：OB=ME-MF．
理由如下：∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF 是平行四边形，
∴OE=MF，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=

1

2

BD，OC=

1

2

AD，且AC=BD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
由ME∥AC可知，∠OCB=∠EMB，
∴BE=ME，
∴OB=BE-OE=ME-MF．

点评：本题考查了矩形的性质及判断、菱形的性质、平行四边形的性质及判定，涉及的知识点比较多，较复杂，但难度不算很大．