Question

8．如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；求出BC的长度；运用射影定理求出BM的长度，借助锐角三角函数的定义求出∠MBA的余弦值，即可解决问题．

解答 解：如图，连接AM；
∵AB=8，AC=3CB，
∴BC=$\frac{1}{4}$AB=2：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°；
由射影定理得：
BM²=AB•CB，
∴BM=4，cos∠MBA=$\frac{BM}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论、射影定理等知识点来分析、判断、解答．