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    （2013•潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，
    32
    ）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；
    （3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用交点式、待定系数法求出抛物线的解析式；
    （2）首先求出点C坐标，确定CD∥OB；由题意，直线l平分四边形OBDC的面积，则S梯形OEFC=S梯形FDBE，据此列方程求出k的值；
    （3）首先求出平移变换后的抛物线解析式，如答图2所示，然后证明Rt△PMD∽Rt△PNE，由相似三角形比例线段关系得到式①：
    -xm
    xn
    =
    t-ym
    t-yn
    ，化简之后变为式②：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn；最后利用一元二次方程根与系数的关系求出t的值．
    解答：解：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A（-1，0），B（3，0），
    设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
    ∵点D（2，
    3
    2
    ）在抛物线上，
    ∴
    3
    2
    =a×3×（-1），解得a=-
    1
    2
    ，
    ∴抛物线解析式为：y=-
    1
    2
    （x+1）（x-3）=-
    1
    2
    x2+x+
    3
    2
    ．

    （2）抛物线解析式为：y=-
    1
    2
    x2+x+
    3
    2
    ，令x=0，得y=
    3
    2
    ，∴C（0，
    3
    2
    ），
    ∵D（2，
    3
    2
    ），∴CD∥OB，直线CD解析式为y=
    3
    2
    ．
    直线l解析式为y=kx-2，令y=0，得x=
    2
    k
    ；令y=
    3
    2
    ，得x=
    7
    2k
    ；
    如答图1所示，设直线l分别与OB、CD交于点E、F，则E（
    2
    k
    ，0），F（
    7
    2k
    ，
    3
    2
    ），
    OE=
    2
    k
    ，BE=3-
    2
    k
    ，CF=
    7
    2k
    ，DF=2-
    7
    2k
    ．
    ∵直线l平分四边形OBDC的面积，
    ∴S梯形OEFC=S梯形FDBE，
    ∴
    1
    2
    （OE+CF）•OC=
    1
    2
    （FD+BE）•OC，
    ∴OE+CF=FD+BE，即：
    2
    k
    +
    7
    2k
    =（3-
    2
    k
    ）+（2-
    7
    2k
    ），
    解方程得：k=
    11
    5
    ，经检验k=
    11
    5
    是原方程的解且符合题意，
    ∴k=
    11
    5
    ．

    （3）假设存在符合题意的点P，其坐标为（0，t）．
    抛物线解析式为：y=-
    1
    2
    x2+x+
    3
    2
    =-
    1
    2
    （x-1）2+2，
    把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为：y=-
    1
    2
    x2．
    依题意画出图形，如答图2所示，过点M作MD⊥y轴于点D，NE⊥y轴于点E，
    设M（xm，ym），N（xn，yn），则MD=-xm，PD=t-ym；NE=xn，PE=t-yn．
    ∵直线PM与PN关于y轴对称，∴∠MPD=∠NPE，
    又∠MDP=∠NEP=90°，
    ∴Rt△PMD∽Rt△PNE，
    ∴
    MD
    NE
    =
    PD
    PE
    ，即
    -xm
    xn
    =
    t-ym
    t-yn
     ①，
    ∵点M、N在直线y=kx-2上，∴ym=kxm-2，yn=kxn-2，
    代入①式化简得：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn  ②
    把y=kx-2代入y=-
    1
    2
    x2．，整理得：x2+2kx-4=0，
    ∴xm+xn=-2k，xmxn=-4，代入②式解得：t=2，符合条件．
    所以在y轴正半轴上存在一个定点P（0，2），使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称．
    点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线的平移、相似三角形、一元二次方程根与系数关系、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问的解题要点是根据S梯形OEFC=S梯形FDBE（如答图1）列方程求解，第（3）问是存在型问题，综合利用相似三角形的判定与性质、函数图象上点的坐标特征及一元二次方程根与系数关系求解．
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    16
    5
    16
    5
    ．

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    （1）求证：四边形BEDF为矩形；
    （2）BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

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