Question

已知二次函数y＝x²－ax－2a²（a为常数，且a≠0）．

（1）证明该二次函数的图像与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；

（2）若该二次函数的图像与y轴的交点坐标为（0，－2），试求该函数图像的顶点

坐标．

Answer 1

解：（1）

法一：y＝x²－ax－2a² ＝（x＋a）（x－2a），

令y＝0，则x₁＝－a，x₂＝2a，  …………2分

∵a≠0，x₁、x₂的值必为一正一负，  …………3分

∴该二次函数的图像与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；  …………4分

法二：由y＝0得：x²－ax－2a² ＝0（*），

∵△＝(－a)²－4×1×（－2a²）＝9a²，a≠0，

∴△＞0，∴（*）有二个不相等的值数根.设二实数根为x₁，x₂，…………2分

∵x₁x₂＝－2a²＜0，∴（*）有2个异号的实数根

∴该二次函数的图像与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；…………4分

（2）由题意，得－2a²＝－2 ，所以a＝1或－1．            …………5分

当a＝1时，y＝x²－x－2＝（x－）²－，顶点坐标为（，－）    …………6分

当a＝－1时，y＝x²＋x－2＝（x＋）²－，顶点坐标为（－，－）…………7分

该函数图像的顶点坐标为（，－）或（－，－）．…………8分