Question

如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝12 cm，半径为4 cm的⊙O与AB、AC两边都相切，与BC交于点D、E．点P从点A出发，沿着边AB向终点B运动，点Q从点B出发，沿着边BC向终点C运动，点R从点C出发，沿着边CA向终点A运动．已知点P、Q、R同时出发，运动速度分别是1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s，运动时间为t s.

  （1）求证：BD＝CE；

  （2）若x＝3，当△PBQ∽△QCR时，求t的值；

  （3）设△PBQ关于直线PQ对称的图形是△PB'Q，求当t和x分别为何值时，点B'与圆心O恰好重合．

Answer 1

（1）证明：连接AO并延长交BC于点H．连接OE、OD．

∵⊙O与AB、AC两边都相切，

∴点O到AB、AC两边的距离相等．

∴AH是∠CAB的平分线．

∵AB＝AC，

∴AH⊥BC，AH平分BC．

∵OE＝OD，OH⊥ED，

∴OH平分ED．

∵CE＝CH－EH，BD＝BH－DH，

且CH＝BH，EH＝DH，

∴ BD＝CE．                                                                                                        3分

（2）解：在Rt△ABC中，BC＝＝12．

∵△PBQ∽△QCR，∴＝，即＝．解得t＝．    6分

（3）解：设⊙O与AB相切于点M，连接OM、OB、OP、OQ，H参考（1）中作法．

∵点O与点B关于PQ对称，

∴PQ垂直平分BO．

∴OP＝BP，OQ＝BQ．

∵⊙O与AB相切于点M，∴OM⊥AB．

设BP＝a，在Rt△OMP中，(12－4－a)²＋4²＝a²，解得a＝5；

设BQ＝b，在Rt△OHB中，(6－b)²＋(2)²＝b²，解得b＝．

t＝＝7 s．  x＝＝ cm．