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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，已知直线y=-2x+12分别与Y轴，X轴交于A，B两点，点M在Y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD．
    （1）求证：△ADM∽△AOB；
    （2）如果⊙M的半径为2
    		5
    ，请写出点M的坐标，并写出以（-
    5
    2
    ，
    29
    5
    ）为顶点，且过点M的抛物线的解析式；
    （3）在（2）条件下，试问在此抛物线上是否存在点P使以P、A、M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）依题意得出MD⊥AB继而推出∠MDA=∠AOB，∠MAD=∠BAO，然后可证明．
    （2）依题意根据勾股定理求出AB的值，首先△ADM∽△AOB，利用线段比求出AM的值．已知顶点坐标代入解析式可求出a值．
    （3）点P若存在，只能在y轴左侧的抛物线上，有六种可能．
    解答：（1）证明：∵AB是⊙M切线，D是切点，
    ∴MD⊥AB．
    ∴∠MDA=∠AOB=90°，
    又∠MAD=∠BAO，
    ∴△ADM∽△AOB．

    （2）解：直线y=-2x+12与x轴交点为B（6，0）与y轴交点为A（0，12）．
    ∴OA=12，OB=6，AB=
    		122+62
    =6
    		5

    ∵△ADM∽△AOB，
    ∴
    AM
    AB
    =
    DM
    OB
    ，
    ∴AM=
    DM•AB
    OB
    =
    2
    		5
    •6
    		5
    6
    =10，
    所以点M的坐标为（0，2）．
    设顶点为（-
    5
    2
    ，
    29
    2
    ），且过点M的抛物线是y=a（x+
    5
    2
    ）2+
    29
    2
    ，则a•
    25
    4
    +
    29
    2
    =2，
    ∴a=-2，
    ∴y=-2（x+
    5
    2
    ）2+
    29
    2
    ，
    即y=-2x2-10x+2．

    （3）解：在抛物线上存在点P使以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似，由抛物线的形状可判断，点P若存在，只能在y轴左侧的抛物线上，且只有六种可能．
    ∵OA：OB=2；
    ∴P1A=P3M=2AM=20，P2A=P4M=
    1
    2
    AM=5．
    ∴P1（-20，12），P2（-5，12），P3（-20，2），P4（-5，2）．
    根据P2A=5，可得P5A=2
    		5
    ，进而得出P5（-4，10），
    下面求P6的坐标：显然MP6=MD=2
    		5
    ，做P6H⊥AM，H为垂足．
    由P6M2=MH•MA，得MH=
    (2
    		5
    )2
    10
    =2．精英家教网
    由P6H2=MH•AH，得P6H=
    		2×8
    =4，
    ∴P6（-4，4），
    经检验，只有P4、P5的坐标满足y=-2x2-10x+2．
    ∴在抛物线y=-2x2-10x+2上存在点P（-5，2），或P（-4，10），使以P、A、M三点为顶点的三角形与△AOB相似．
    点评：本题综合考查的是二次函数的有关知识以及利用待定系数法求二次函数的解析式，考生要注意的是分析问题要全面．难度较大．
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    相等
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    ；
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