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    6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=$\frac{3}{5}$，BC=3，P是射线AB上的一个动点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E．

    （1）当PA=1时，求CE的长；
    （2）如果点P在边AB的上，当⊙P与以点C为圆心，CE为半径的⊙C内切时，求⊙P的半径；
    （3）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点F，点P在运动过程中，当PE∥CF时，求AP的长．

    分析 （1）作PH⊥AC，垂足为H，根据已知条件得到AB=5，AC=4根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{PH}{BC}=\frac{PA}{AB}$，得到PH=$\frac{3}{5}$，于是得到结论；
    （2）当⊙P与⊙C内切时，点C在⊙P内，于是得到点D在AC的延长线上点P作PG⊥AC，垂足为G，设PA=x，则PG=$\frac{3}{5}$x，AG=DG=$\frac{4}{5}$x，CD=$\frac{8}{5}$x-4，CG=4-$\frac{4}{5}$x，根据$\frac{CE}{PG}$=$\frac{DC}{DG}$，得到CE=$\frac{6}{5}$x-3，根据PA-CE=PC，
    列方程得到结论；
    （3）根据余角的性质得到∠ABC=∠PEC等量代换得到∠PEC=∠EBP，根据等腰三角形的判定得到PB=PE，根据三角形的中位线的性质得到PQ∥AC即可得到结论．

    解答 解：（1）如图1，作PH⊥AC，垂足为H，
    ∵PH过圆心，
    ∴AH=DH，
    ∵∠ACB=90°，
    ∴PH∥BC，
    ∵cosB=$\frac{3}{5}$，BC=3，
    ∴AB=5，AC=4，
    ∵PH∥BC，
    ∴$\frac{PH}{BC}=\frac{PA}{AB}$，
    ∴$\frac{PH}{3}=\frac{1}{5}$，
    ∴PH=$\frac{3}{5}$，
    ∴AH=DH=$\frac{4}{5}$，
    ∴DC=$\frac{12}{5}$，
    又∵$\frac{PH}{CE}$=$\frac{DH}{DC}$，
    ∴$\frac{\frac{3}{5}}{CE}$=$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{12}{5}}$，
    ∴CE=$\frac{9}{5}$，

    （2）当⊙P与⊙C内切时，点C在⊙P内，
    ∴点D在AC的延长线上
    点P作PG⊥AC，垂足为G，设PA=x，则PG=$\frac{3}{5}$x，AG=DG=$\frac{4}{5}$x，CD=$\frac{8}{5}$x-4，CG=4-$\frac{4}{5}$x，

    ∵$\frac{CE}{PG}$=$\frac{DC}{DG}$，
    ∴$\frac{CE}{\frac{3}{5}x}$=$\frac{\frac{8}{5}x-4}{\frac{4}{5}x}$，
    ∴CE=$\frac{6}{5}$x-3，
    ∵⊙P与⊙C内切，
    ∴PA-CE=PC，
    ∴x-（$\frac{6}{5}$x-3）=$\sqrt{（\frac{3}{5}x）^{2}+（4-\frac{4}{5}x）^{2}}$，
    ∴24x2-130x+175=0，
    ∴x1=$\frac{35}{12}$，x2=$\frac{5}{2}$，
    ∴当⊙P与⊙C内切时，⊙P的半径为$\frac{35}{12}$．

    （3）∵∠ABC+∠A=90゜，∠PEC+∠CDE=90゜，
    ∵∠A=∠PDA，
    ∴∠ABC=∠PEC
    ∵∠ABC=∠EBP，
    ∴∠PEC=∠EBP，
    ∴PB=PE，
    ∵点Q为线段BE的中点，
    ∴PQ⊥BC，∴PQ∥AC
    ∴当PE∥CF时，四边形PDCF是平行四边形，
    ∴PF=CD，
    当点P在边AB的上时，x=4-$\frac{8}{5}$x，x=$\frac{20}{13}$，
    当点P在边AB的延长线上时，x=$\frac{8}{5}$x-4，x=$\frac{20}{3}$，
    综上所述，当PE∥CF时，AP的长为$\frac{20}{13}$或$\frac{20}{3}$．

    点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握两圆相切的性质和三角形相似的判定与性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算；能运用分类讨论的思想解题是答题关键，题目的综合性很强，牵扯到的知识点较多，对学生的综合解题能力要求很高．

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    （2）如果点P在函数y=x-2的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；
    （3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y=2x2的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．

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