Question

7．等边三角形ABC的边长为6，点E在AC边上从点A向点C运动，同时点F在BC边上从点C向点B运动，速度相同，连接AF，BE相交于点P．当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长$\frac{4\sqrt{3}}{3}$π．

Answer 1

分析 由等边三角形的性质证明△AEB≌△CFA可以得出AE=BFAE=CF，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，由弧线长公式就可以得出结论．

解答 解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=6，∠BAC=∠C=60°．
在△AEB和△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠C}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CFA（SAS），
∴AE=CF．
点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，
此时△ABP为等腰三角形．且∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
∵AB=6，
∴OA=2$\sqrt{3}$，
∴点P的路径是：$\frac{nπr}{180}$=$\frac{120π•2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$π．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{3}π}}{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，弧线长公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．