Question

5．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，若点E是CD中点，则BG：CG=1：2．

Answer 1

分析 利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出Rt△ABG≌Rt△AFG，得出BG=FG，设正方形的边长为2a，BG=FG=x，则GC=2a-x，由勾股定理得出GE²=CG²+CE²，解方程求出BG，得出CG，即可得出结果．

解答 解：连接AG，如图所示：
在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
∴BG=FG
设正方形的边长为2a，BG=FG=x，则GC=2a-x，
∵E为CD的中点，
∴CE=EF=DE=a，
∴EG=a+x，
∴在Rt△CEG中，a²+（2a-x）²=（a+x）²，
解得：x=$\frac{2}{3}$a，
∴BG=$\frac{2}{3}$a，
∴CG=2a-$\frac{2}{3}$a=$\frac{4}{3}$a，
∴BG：CG=1：2；
故答案为：1：2．

点评 此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．