Question

10．如图，P为正三角形ABC的外接圆O的劣弧BC上的任意一点，PA与BC交于D，连接PB、PC
（1）求证：PB•PC=PA•PD；（2）求$\frac{PD}{PA}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，由圆周角定理得出∠APB=∠DPC，∠BAP=∠PCD，证出△ABP∽△PCD，得出对应边成比例，即可得出结论；
（2）由题意得出$\frac{PD}{PA}$的值最大时AD最小，得出AP⊥BC，连接OB，由正三角形的性质得出OD=$\frac{1}{2}$OA，求出PD=$\frac{1}{2}$OA，由PA=2OA，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠APB=∠ACB，∠ABC=∠DPC，
∴∠APB=∠DPC，
∵∠BAP=∠PCD，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{PC}{PD}$，
即PB•PC=PA•PD；
（2）解：要使$\frac{PD}{PA}$的值最大，则AD最小，即AP⊥BC，
∵正三角形ABC的外接圆O，
∴AP为直径，连接OB，如图所示：
∵△ABC为正三角形，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA，
∴PD=$\frac{1}{2}$OA，
∵PA=2OA，
∴$\frac{PD}{PA}$=$\frac{\frac{1}{2}OA}{2OA}$=$\frac{1}{4}$，
即$\frac{PD}{PA}$的最大值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了正三角形的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．