Question

20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E、F分别为AC、BC上一点，且DE⊥DF，若∠A=30°，求$\frac{DF}{DE}$的值．

Answer 1

分析 由Rt△ABC中，CD⊥AB，得出∠FCD=∠A，利用互余关系得出∠CDF=∠ADE，证明△ADE∽△CDF，利用相似比证明结论．

解答 证明：∵∠ACB=90°CD⊥AB，
∴∠FCD+∠ACD=∠A+∠ACD=90°，
∴∠FCD=∠A，
同理可证∠CDF=∠ADE，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{DC}{AD}$，
∵∠A=30°，
∴tan∠A=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用互余关系证明角相等，再证明三角形相似．