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【题目】如图1ABC中,ABAC,∠BAC90°CD平分∠ACBBECD,垂足ECD的延长线上.请解答下列问题:

1)图中与∠DBE相等的角有:   

2)直接写出BECD的数量关系;

3)若ABC的形状、大小不变,直角三角形BEC变为图2中直角三角形BED,∠E90°,且∠EDBCDEAB相交于点F.试探究线段BEFD的数量关系,并证明你的结论.

【答案】1)∠ACE和∠BCD

2BECD

3BEDF,证明见解析

【解析】

1)根据三角形内角和定理得到∠DBE=∠ACE,根据角平分线的定义得到∠BCD=∠ACE,得到答案;

2)延长BECA延长线于F,证明CEF≌△CEB,得到FEBE,证明ACD≌△ABF,得到CDBF,证明结论;

3)过点DDGCA,交BE的延长线于点G,与AE相交于H,分别证明BGH≌△DFHBDE≌△GDE,根据全等三角形的性质解答即可.

解:(1)∵BECD

∴∠E90°

∴∠E=∠BAC,又∠EDB=∠ADC

∴∠DBE=∠ACE

CD平分∠ACB

∴∠BCD=∠ACE

∴∠DBE=∠BCD

故答案为:∠ACE和∠BCD

2)延长BECA延长线于F

CD平分∠ACB

∴∠FCE=∠BCE

CEFCEB中,

∴△CEF≌△CEBASA),

FEBE

ACDABF中,

∴△ACD≌△ABFASA),

CDBF

BECD

3BEDF

证明:过点DDGCA,交BE的延长线于点G,与AE相交于H

DGAC

∴∠GDB=∠C,∠BHD=∠A90°

∵∠EDBC

∴∠EDB=∠EDGC

BEED

∴∠BED90°

∴∠BED=∠BHD

∵∠EFB=∠HFD

∴∠EBF=∠HDF

ABAC,∠BAC90°

∴∠C=∠ABC45°

GDAC

∴∠GDB=∠C45°

∴∠GDB=∠ABC45°

BHDH

BGHDFH中,

∴△BGH≌△DFHASA

BGDF

∵在BDEGDE中,

∴△BDE≌△GDEASA

BEEG

BE

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