Question

在⊙O中，AB为⊙0的直径，AC是弦，OC=4cm∠OAC=60°，如图所示，一动点M从点A出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S=_△MAO=S_△AOC时，动点M所经过的弧长是

 

cm．

Answer 1

考点：弧长的计算

专题：

分析：分为四种情况：①当M运动到∠AOM₁=60°时，②当M运动到∠AOM₂=120°，③当M运动到∠AOM=240°时，④当∠AOM=300°时，根据弧长公式l=

nπr

180

进行解答即可．

解答：解：∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
分为四种情况：
①如图M运动到M₁时，S △M1AO=S_△ACO，
则∠AOM₁=∠AOC=60°，
此时动点M所经过的弧长l=

60π×4

180

=

4

3

π（cm）；
②过M₁作M₁M₂∥AB，交⊙O于M₂，连接AM₂，OM₂，
易得S △M2AO=S_△AOC，
则∠AOM₁=∠M₁0M₂=∠BOM₂=60°，
此时动点M所经过的弧长l=

120π×4

10

=

8

3

π（cm）；
③过C作CM₃∥AB交⊙O于M₃，连接AM₃，OM₃，此时S △AM3O=S_△ACO，
则∠AOM₃=240°，
此时动点M所经过的弧长l=

240π×4

180

=

16

3

π（cm）；
④当M运动到C点时，S_△MAO=S_△AOC，
则∠AOM₄=300°，
此时动点M所经过的弧长l=

300π×4

180

=

20

3

π（cm）；
故答案为：

8

3

π或

4

3

π或

16

3

π或

20

3

π．

点评：本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，用了分类讨论思想．