Question

10．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点O，过O作BC的平行线交AB于E，交AC于F．
（1）图中共有几个等腰三角形，请选择其中一个加以证明；
（2）请问线段EF与BE、CF之间存在什么数量关系．试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义以及平行线的性质进行角之间的等量代换，根据等边对等角，发现两个等腰三角形：△BOE和△COF，即可得出所求的结论；
（2）根据∠ABC和∠ACG的平分线相交于点O，过点O作BC的平行线交AB于点E，可证∠EOB=∠EBO，可得BE=EO，OF=FC，于是得到结论．

解答 （1）答：图中共有△BOE和△COF2个等腰三角形；
证明：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC．
又∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，
∴BE=EO，
∴△BOE是等腰三角形．

（2）解：EF=BE-CF．
理由：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC．
又∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，
∴BE=EO，
同理可证：CF=FO，
∵EF=EO-FO，
∴EF=BE-CF．

点评 此题主要考查等腰三角形的判定与性质和平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．