Question

某家电生产企业跟踪市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时）生产空调器、彩电、冰箱共360台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

家电名称	空调器	彩电	冰箱
工时
产值（元）	4000	3000	2000

设每周生产空调器x台，彩电m台，总产值为y元；
（1）写出m与x之间的关系式；
（2）写出y与x之间的函数表达式；（不要求写出自变量的范围）
（3）若冰箱至少生产60台，求每周生产空调器多少台时，其总产值最高？最高产值是多少？

Answer 1

解（1）设每周生产空调器x台，彩电m台，则冰箱为（360-x-m）台，
∵每周工时为120，
∴x+m+（360-x-m）=120，
则m=360-3x；

（2）设总产值为y，
由题意得，y=4000x+3000m+2000（360-x-m）
=4000x+3000（360-3x）+2000×2x
=-1000x+1080000；

（3）由（1）得，冰箱的台数为360-x-（360-3x）=2x，
∵2x≤60，
∴x≥30，
∵y=-1000x+1080000，y随x的增大而减小，
∴当x=30时，y有最大值，
此时y=-1000×30+1080000=1050000（元）．
答：每周生产空调器30台时，其总产值最高，最高产值是10500000元．
分析：（1）设每周生产空调器x台，彩电m台，则冰箱为（360-x-m）台，根据每周总工时为120，得出m，x之间的函数关系式；
（2）设总产值为y，由题意得y=4000x+3000m+2000（360-x-m），整理即可；
（3）根据冰箱不少于60台，得出x的取值范围，然后根据（2）求出的解析式，求最高产值即可．
点评：本题主要考查了一次函数的应用，把复杂的实际问题转换成数学问题，熟悉和掌握一次函数的性质是解题关键，注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质，即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．