Question

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD+BC=AB，以AB为直径作⊙O．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）试探索以CD为直径的圆与AB有怎样的位置关系？证明你的结论．

Answer 1

考点：切线的判定,直线与圆的位置关系

专题：

分析：（1）首先过点O作OE⊥CD于点E，易证得OE是梯形ABCD的中位线，可得OE=

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（AD+BC），又由AD+BC=AB，以AB为直径作⊙O．可得OE等于⊙O的半径．
（2）设圆心为O′．首先过点O′作O′F⊥CD于点F，过点O′作O′M∥AD，易证得△AO′D≌△FO′D（AAS），即可得O′F=O′A=

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2

AB，则可判定CD与⊙O′相切．

解答：（1）证明：过点O作OE⊥CD于点E，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
∴AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥OE∥BC，
∵OA=OB，
∴OE是梯形ABCD的中位线，
∴OE=

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（AD+BC），
∵AD+BC=AB，
∴OE=

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2

AB，
∵以AB为直径作⊙O．
∴直线CD是⊙O的切线．

（2）设圆心为O′．过点O′作O′F⊥AB于点F，过点O′作O′M∥AD，
∴O′M是梯形ABCD的中位线，
∴O′M=

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（AD+BC）=

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AB=DM，
∴∠O′DM=∠DO′M，
∵AD∥O′M，
∴∠ADO′=∠DO′M=∠O′DM，
在△AO′D和△FO′D中，

∠ADO′=∠FDO′ ∠A=∠O′FD=90° O′D=O′D

，
∴△AO′D≌△FO′D（AAS），
∴O′F=O′A=

1

2

AB，
即CD与⊙O′相切．

点评：此题考查了切线的判定以及梯形的中位线的性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．