Question

1．如图，在边长为a的等边△ABC中，半圆O的直径在BC上，又分别与AB、AC相切于点Q、R，点P是弧QR上（不包括Q、R点）任意一点，过点P的切线分别与AB、AC相交于点D、E．
（1）求证：BO=CO；
（2）求△ADE的周长和∠DOE的大小；
（3）当DE=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$a时，求BD²+CE²的值．

Answer 1

分析 （1）连结OQ、OR，如图，根据切线的性质得OQ⊥AB，OR⊥AC，OQ=OR，再利用等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，则根据“AAS”可判断△OBQ≌△OBR，于是得到OB=OC；
（2）OB=OC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a，在Rt△OBQ中利用含30度的直角三角形三边的关系得BQ=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{4}$a，则CR=BQ=$\frac{1}{4}$a，再根据切线的性质和切线长定理得OP⊥DE，DQ=DP，EP=ER，则利用等线段代换可得△ADE的周长=AD+AE+DE=AQ+AR=$\frac{3}{2}$a；由于DQ⊥OQ，DP⊥OP，DQ=DP，则根据角平分线定理的逆定理得∠1=∠2，同理可得∠3=∠4，所以∠DOE=$\frac{1}{2}$∠QOR，然后利用四边形内角和得∠QOR=180°-∠A=120°，则∠DOE=60°；
（3）由于∠1=60°-∠4，则∠QDO=90°-∠1=30°+∠4，而∠COE=∠COR+∠4=30°+∠4，则∠BDO=∠COE，于是可证明△OBD∽△ECO，利用相似比可得BD•CE=OB•OC=$\frac{1}{4}$a²，接着利用等线段代换可得BD+CE=BQ+DE+CR=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，然后利用完全平方公式可计算出BD²+CE²的值．

解答 （1）证明：连结OQ、OR，如图，
∵半圆O的直径在BC上，分别与AB、AC相切于点Q、R，
∴OQ⊥AB，OR⊥AC，OQ=OR，
∵△ABC为边长为a的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
在△OBQ和△OBR中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BQO=∠CRO}\\{OQ=OR}\end{array}\right.$，
∴△OBQ≌△OBR，
∴OB=OC；
（2）解：OB=OC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△OBQ中，∵∠B=60°，
∴BQ=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{4}$a，
∴CR=BQ=$\frac{1}{4}$a，
∵过点P的切线分别与AB、AC相交于点D、E，
∴OP⊥DE，DQ=DP，EP=ER，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DP+EP=AD+DQ+AE+ER=AQ+AR=a-$\frac{1}{4}$a+a-$\frac{1}{4}$a=$\frac{3}{2}$a；
∵DQ⊥OQ，DP⊥OP，DQ=DP，
∴∠1=∠2，
同理可得∠3=∠4，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$∠QOR，
∵∠QOR=180°-∠A=180°-60°=120°，
∴∠DOE=60°；
（3）解：∵∠1+∠4=60°，
∴∠1=60°-∠4，
∴∠QDO=90°-∠1=90°-（60°-∠4）=30°+∠4，
而∠COE=∠COR+∠4=30°+∠4，
∴∠BDO=∠COE，
而∠B=∠C，
∴△OBD∽△ECO，
∴$\frac{BD}{OC}$=$\frac{OB}{CE}$，
∴BD•CE=OB•OC=$\frac{1}{4}$a²，
∵BD+CE=BQ+DQ+CR+ER=BQ+DP+EP+CR=BQ+DE+CR=$\frac{1}{4}$a+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a+$\frac{1}{4}$a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴BD²+CE²=（BD+CE）²-2BD•CE=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$a）²-2×$\frac{1}{4}$a²=$\frac{3}{4}$a²．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定与性质、切线长定理和等边三角形的性质；灵活运用相似三角形的判定与性质进行几何计算．