Question

20．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），D为⊙C在第一象限内的一点且∠ODB=60°，解答下列各题：
（1）求线段AB的长及⊙C的半径；
（2）求B点坐标及圆心C的坐标；
（3）当△OBD的面积最大时，求出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OAB中，只要证明∠OAB=∠ODB=60°，利用直角三角形30度角性质即可解决问题．
（2）过C点作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．利用勾股定理求出OB的长，再利用垂径定理以及三角形中位线定理求出CE、CF即可解决问题．
（3）作DH⊥OB于H，连结CD，所以当D、C、F三点在同一直线上时，DH最大为3．此时△OBD的面积也最大，由此即可即可解决问题．

解答 解：（1）连接AB．
∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°
∴∠OAB=60°，
∵∠AOB是直角，
∴AB是⊙C的直径，
∴∠OBA=30°，
∴AB=2OA=4，
∴⊙C的半径r=2；

（2）过C点作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB²+OA²=AB²，
∴OB=2$\sqrt{3}$，
∴B的坐标为：（2$\sqrt{3}$，0）
由垂径定理得：OE=AE=1，OF=BF=$\sqrt{3}$，
∵AE=EO，AC=CB，
∴EC=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，CF=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴C的坐标为（$\sqrt{3}$，1）．

（3）作DH⊥OB于H，连结CD，
△OBD的面积=$\frac{1}{2}$OB•DH
因为DH≤CD+CF
所以当D、C、F三点在同一直线上时，DH最大为3．
此时△OBD的面积也最大，
∴点D的坐标为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、圆周角定理、坐标与图象的性质、三角形中位线定理、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．