Question

15．已知：等边△ABC，边长为8cm，点D从C点出发沿BC方向以1cm/s速度运动，点P从A点出发沿AC方向以2cm/s速度运动，DE∥AC交AB于点E，点D、点P两点同时出发，设运动时间为t s，问：
（1）当t为何值时，四边形AEDP为平行四边形；
（2）当t为何值时，△AEP与△CDP相似．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的对边相等得到DE=AP，即8-t=2t，由此求得t的值；
（2）需要分类讨论：∠AEP=∠PDC、∠AEP=∠CPD两种情况．由相似三角形的对应边成比例来求相应的t的值．

解答 解：由题意知：DC=t；AP=2t，则BD=8-t；CP=8-2t
（1）∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠C=∠A=∠BED=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=8-t，
又∵四边形AEDP是平行四边形，
∴DE=AP，即8-t=2t，
解得：t=$\frac{8}{3}$；

（2）∵∠A=∠C=60°；DE∥AC
∴AE=CD=t
当△AEP∽△CDP时有：
①∠AEP=∠PDC；此时$\frac{AP}{CP}$=$\frac{AE}{CD}$，即$\frac{2t}{8-2t}$=$\frac{t}{t}$．
解得：t=2
②∠AEP=∠CPD，此时$\frac{AE}{CP}$=$\frac{AP}{DC}$，即$\frac{t}{8-2t}$=$\frac{2t}{t}$．
解得t₁=$\frac{16}{5}$，t₂=0（舍去）
综上所述，当t=2或t=$\frac{16}{5}$时，△AEP∽△CDP．

点评 本题考查了平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．解答（2）题时，要分类讨论，以防漏解．