Question

4．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P为BC边上一动点，AP交BD于点Q．点P从B点出发沿BC边以每秒1个单位长度的速度向C点移动，移动时间为x秒．设S_△AQD+S_△PQB=y，写出y与x之间的函数关系式，并探究P点运动到第几秒与第几秒之间时，y取得最小值．（　　）

• A． 3到4
• B． 4到5
• C． 5到6
• D． 6到7

Answer 1

分析 因为S_△AQD+S_△PQB=y，故求S_△AQD和S_△PQB是解决问题的关键，观察无固定组合规则图象，则考虑作高分别求取．考虑两高在同一直线上，且相加恰为4，故由△AQD∽△PQB结论得，高的比等于对应边长比，设其中一高为h，即可求得，则易表示y，注意要考虑t的取值，探讨得出y最小值．

解答 解：设△PQB的边BP上的高h，则△AQD的边AD上的高为（4-h）．
∵AD∥BC，
∴△ADQ∽△BQP，
∴$\frac{h}{4-h}$=$\frac{t}{10}$，
解得 h=$\frac{4t}{10+t}$，
∴4-h=$\frac{40}{10+t}$，
∴S_△PQB=$\frac{1}{2}$BP•h=$\frac{2{t}^{2}}{10+t}$，
S_△DQA=$\frac{1}{2}$AD（4-h）=$\frac{200}{10+t}$，
∴y=S_△AQD+S_△PQB=$\frac{2{t}^{2}+200}{10+t}$（0≤t≤10）．
探究：
t=0，y=20；
t=1，y≈18.36；
t=2，y≈17.33；
t=3，y≈16.77；
t=4，y≈16.57；
t=5，y=16.67；
t=6，y=17；
t=7，y≈17.53；
t=8，y≈18.22；
t=9，y≈19.05；
t=10，y=20；
观察数据知：
当0≤t≤4时，y随t的增大而减小；
当5≤t≤10时，y随t的增大而增大；
故y在第4秒到第5秒之间取得最小值．
故选：B．

点评 此题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，函数的最值问题，注意利用三角形的面积计算公式建立函数，进一步求得最值即可．