Question

14．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=5，BC=12，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AO=OC，∠AOE=∠COF，由ASA证出△AOE≌△COF，得出OE=OF，证出四边形AFCE是平行四边形，再根据EF⊥AC即可得出四边形AFCE是菱形；
（2）设AE=CF=AF=x，则BF=12-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AE=AF=CF，
设AE=AF=CF=x，则BF=12-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AB²+BF²=AF²，
即5²+（12-x）²=x²，
解得：x=$\frac{169}{24}$，
∴AE=$\frac{169}{24}$．

点评 本题考查了勾股定理、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点的综合运用；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．