Question

如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点M．
（1）请你仔细观察图形，并直接写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：BM²=BE•ME．

Answer 1

考点：正多边形和圆,等腰三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先由正五边形的性质可得五条边相等，五个角相等，并且每个角都是108°，根据两边相等的三角形是等腰三角形可得△ABE与△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理通过计算可得∠EAM=∠AEM=∠ABE=∠ADE=36°，∠DEM=∠DME=∠AMB=∠BAM=72°，根据等角对等边可得△AEM、△DME与△ABM是等腰三角形；
（2）根据两角对应相等的两三角形相似得出△AME∽△EAB，由相似三角形对应边成比例即可证明BM²=BE•ME．

解答：（1）解：图中所有的等腰三角形有：△ABE，△ADE，△AEM，△DME，△ABM；

（2）证明：∵△AME与△EAB都是等腰三角形，
∴MA=ME，AB=AE．
在△AME与△EAB中，

AM AE = ME AB ∠AME=∠EAB=108°

，
∴△AME∽△EAB，
∴

ME

AB

=

AE

BE

，
∵BM=AB=AE，
∴BM²=BE•ME．

点评：本题考查了正五边形和圆，等腰三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．