Question

已知抛物线y=x²+bx+4上有不同的两点E（k+3，0）和F（-k-1，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线y=x²+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）当k＞0且∠PMQ的边过点F时，求m、n的值．

Answer 1

解：（1）抛物线的对称轴为．　
∵抛物线上不同两个点E （k+3，0）和F （-k-1，0）的纵坐标相同，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则　，且k≠-2．
∴抛物线的解析式为．　
　　　　　　　　　　
（2）∵抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴AB=，AM=BM=．　　　　　　　　　　　　　　　　
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°．
∴∠BCM=∠AMD．
故△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴，
即　，
．
故n和m之间的函数关系式为（m＞0）．　　
　　　　　　　
（3）∵F（-k-1，0）在上，
∴，
化简得，k²-4k+3=0，
∴k₁=1，k₂=3．　　　　
∵k＞0，
∴F（-2，0）或（-4，0）．　　 　　　　　　　　　　
①当MF过M（2，2）和F（-2，0），设MF为y=kx+b，
则　
解得，
∴直线MF的解析式为．
直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1）．
若MP过点F（-2，0），则n=4-1=3，m=；
若MQ过点F（-2，0），则m=4-（-2）=6，n=．　　
②MF过M（2，2）和F₁（-4，-8），设MF为y=kx+b，
则，
解得 ；
∴直线MF的解析式为 y=x-；
直线MF与x轴交点为（ ，0），与y轴交点为（0，-）；
若MP过点F（-4，-8），则n=4-（-）=，m=；
若MQ过点F（-4，-8），则m=4-=，n=；
故当，，，时，∠PMQ的边过点F．
分析：（1）根据抛物线y=x²+bx+4上有不同的两点E（k+3，0）和F（-k-1，0），得出对称轴进而得出b的值；
（2）利用旋转的性质得出∠BCM=∠AMD，进而得出△BCM∽△AMD，即可求出n和m之间的函数关系式；
（3）根据F（-k-1，0）在上，求出k的值，进而得出①MF过M（2，2）和F（-2，0），求出直线MF的解析式，进而得出直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1），根据若MP过点F（-2，0），则n=4-1=3，m=，若MQ过点F（-2，0），则m=4-（-2）=6，n=，再根据②MF过M（2，2）和F（-4，-8），求出m，n的值即可，
点评：此题主要考查了二次函数的综合以及相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识，利用数形结合得出M，F点的坐标是解题关键．